MOVIMIENTO EN DOS DIMENSIONES

4.1 LANZAMIENTO HORIZONTAL.
OBJETIVO:
Identificar el movimiento en dos dimensiones, y la independencia de sus vectores.
Un objeto que se lanza al espacio sin fuerza de propulsión propia recibe el nombre de proyectil.
Si se desprecia la resistencia ejercida por el aire, la única fuerza que actúa sobre el proyectil es supeso, que hace que su trayectoria se desvíe de la línea recta.

En este tipo de movimiento se lanza el proyectil con todo el impulso en dirección vertical por lo cual la Vx =V0 y la Vy = 0.
Estas son las formulas que vamos a utilizar :



EJEMPLO
Tomando en cuenta la figura anterior. Explicaremos el siguiente problema:

Desde lo alto de un acantilado de 5 m de alto se lanza horizontalmente una piedra con velocidad inicial de 20 m/s. ¿A qué distancia horizontal de la base del acantilado choca la piedra?

Paso No. 1: Calcular las componentes rectangulares de la velocidad inicial
En el lanzamiento horizontal la velocidad inicial vertical (Voy) es igual a cero, por lo que:
Vx = 20 m/s
Voy = 0

Paso No. 2: Anotar los datos para X y para Y. Recuerde que las velocidades y los desplazamientos
Para “X” Para “Y”
Vx = 20 m/s
t =
X = Voy = 0
g= -9.81 m/s2
Y = -5 m

Paso No. 3: Selección de las ecuaciones a utilizar
Recuerde que “X” que es la distancia horizontal que recorre un proyectil y para calcularla es necesario saber el valor de t (tiempo). Observe que en “Y ” tiene datos suficientes para calcular “t”.


Paso 4: Resolver la ecuación considerando que Voy = 0, por lo que el primer término se anula.
Y= gt^2 / 2
Resolviendo para “ t “ :
t = 1.009637 s
Calculo de “ t “ :

Paso5: Calcular “ X “ utilizando la ecuación:

Recuerde que “X” que es la distancia horizontal que recorre un proyectil y para calcularla es necesario saber el valor de t (tiempo). Observe que en “Y ” tiene datos suficientes para calcular “t”.
Resolviendo para “ X “ : X=Vx (t)
X = (20 m/s)(1.09637s)
X = 20 m



ACTIVIDAD No. 6
INSTRUCCIONES:
Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.
1.- Se arroja una piedra en sentido horizontal desde un barranco de 100 m de altura. Choca contra el piso a 80 m de distancia de la base del barranco. ¿A qué velocidad fue lanzada?
2.- Un tigre salta en dirección horizontal desde una roca de 2 m de altura, con una rapidez de 5.5 m/s. ¿A qué distancia de la base de la roca llegará al suelo?
3.- Un clavadista corre a 1.8 m/s y se arroja horizontalmente desde la orilla de un barranco y llega al agua 3 s después.
a) ¿Qué altura tenía el barranco?
b) ¿A qué distancia de su base llega el clavadista al agua?
4.2 TIRO PARABÓLICO
OBJETIVO:
Diferenciar el movimiento en dos dimensiones en el lanzamiento horizontal y en el tiro con ángulo.

Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo desalida.

LANZAMIENTO CON ÁNGULO
La velocidad inicial del proyectil(Vo) tiene dos componentes (Vx y Voy) que se calculan con Vx = VoCosq y Voy = VoSenq.
Para cualquier instante del movimiento, la velocidad del proyectil tiene dos componentes (Vx y Vy). La posición también tiene las dos coordenadas (X, Y)

COMPONENTE VERTICAL
Verticalmente el movimiento es uniformemente acelerado. La única fuerza que actúa sobre el proyectil es la gravedad, por lo que la aceleración es g.
Para cualquier instante del movimiento la velocidad vertical (Vy) debe calcularse como si fuera lanzamiento vertical

COMPONENTE HORIZONTAL
Horizontalmente la velocidad es constante Vx = VoCosq y debe calcularse como si fuera movimiento rectilíneo uniforme.


Para todos los proyectiles lanzados con el mismo impulso, la altura máxima, el alcance horizontal y el tiempo están determinados por el ángulo de salida.



Al aumentar el ángulo, el alcance horizontal “X”, la altura máxima y el tiempo aumentan.
El alcance máximo se logra con el ángulo de 45°, Con el incremento del ángulo, aumenta la altura máxima y el tiempo.
Con ángulos mayores que 45° el alcance disminuye, pero la altura máxima y el tiempo siguen aumentando.
Incrementado mas el ángulo, el alcance sigue disminuyendo y la altura máxima y el tiempo continúan incrementándose.
En este tipo de movimiento siempre el primer paso es obtener la velocidad inicial en “x” y en “y .

EJEMPLO
Se patea un balón de fútbol con un ángulo de 37° con una velocidad de 20 m/s. Calcule:

a) La altura máxima.
b) El tiempo que permanece en el aire.
c) La distancia a la que llega al suelo.
d) La velocidad en X y Y del proyectil después de 1 seg de haber sido disparado

Datos
Ángulo = 37° a) Ymax = ? d) Vx =?
Vo = 20m/s b) t total = ? Vy = ?
g= -9.8 m/s^2 c) X = ?

Paso 1

Vox = Vo Cos a = 20 m/s Cos 37° = 15.97 m/s
Voy = Vo Se n a = 20 m/s Sen 37° = 12.03 m/s
Paso 2
Calcular el tiempo de altura máxima , donde Voy = 0
Por lo tanto : t = (Vfy - Voy) / g = (0 - 12.03 m/s) / 9.8 = 1.22.seg.

Paso 3
Calcular a) la altura máxima:
Ymax = Voy t + gt^2 / 2= 12.03 m/s ( 1.22s) + (( -9.8m/s^2 )(1.22s)^2) / 2 = 7.38m

Paso 4
Calcular b) el tiempo total . En este caso solo se multiplica el tiempo de altura máxima por 2, porque sabemos que la trayectoria en este caso es simétrica y tarda el doble de tiempo en caer el proyectil de lo que tarda en alcanzar la altura máxima.
T total = tmax (2) = 1.22s (2) = 2.44 s.

Paso 5
Calcular el alcance máximo, para lo cual usaremos esta formula:
X = Vx t total = 15.97 m/s ( 2.44s) = 38.96 m.
Paso 6
Vfy = gt + Voy = (- 9.8) ( 1seg.) + 12.03 m/s = 2.23 m/s
Vfx = 15.97 m/s ,ya que esta es constante durante todo el movimiento.
ACTIVIDAD No. 7
INSTRUCCIONES:
Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.

1.- Un proyectil es disparado con una rapidez inicial de 75.2 mIs, a un ángulo de 34.5° por encima de la horizontal a lo largo de un campo de tiro plano. Calcule
a) La máxima altura alcanzada por el proyectil.
b) El tiempo que total que el proyectil permanece en el aire
c) La distancia horizontal total
d) La velocidad de X y Y del proyectil después de 1.5 s de haber sido disparado

2.- Una flecha se dispara con un ángulo de 50° con respecto a la horizontal y con una velocidad de 35 m/s.
a) ¿Cuál es su posición horizontal y vertical después de 4 segundos?
b) Determine las componentes de su velocidad después de 4 segundos.
c) ¿Cuál es la velocidad en X y Y después de 4 segundos?


TAREA No. 3
Resolver los siguientes ejercicios y enviarlos por mail a su profesor:

1.- Una piedra se arroja horizontalmente a 15 m/s desde la parte más alta de un risco de 44 m de altura.
a) ¿Qué tiempo tarda la piedra en llegar a la base del risco?
b) ¿Qué tan lejos de la base del risco choca la piedra con el piso?
c) ¿Cuál su velocidad horizontal después de 1.5 segundos?

2.- Una pelota de golf se golpea con un ángulo de 45° con la horizontal. Si la velocidad inicial de la pelota es de 50 m/s:
a) ¿Cuánto tiempo permanece la pelota en el aire?
b) ¿Cuál su altura máxima?
c) ¿Cuál su alcance horizontal?

4.3 MOVIMIENTO CIRCULAR.
OBJETIVO:
Aplicar los conocimientos del movimiento lineal al movimiento circular utilizando formulas muy similares


Es un movimiento en el cual la velocidad no cambia, pues solo hay un cambio en la dirección.
El desplazamiento angular de un cuerpo describe la cantidad de rotación.

Medidas del desplazamiento angular.

El ángulo en radianes es la razón entre la distancia del arco s y el radio R del arco.
Un radian no tiene unidades y es la razón entre dos longitudes.
La velocidad angular es la razón de cambio de desplazamiento angular con respecto al tiempo.
La aceleración angular es la tasa de cambio de la velocidad angular en el tiempo.
Formulas que se utilizan:

Relación entre los movimientos rotacional y lineal.
Existe una importante relación entre la velocidad angular y la lineal debido a que q /t = w y s/t = v, como s = q R entonces

La aceleración tangencial representa un cambio en la velocidad lineal, mientras que la aceleración centrípeta representa tan solo un cambio de dirección del movimiento .Teniendo las siguientes formulas:



EJEMPLOS

1.- Un punto situado en el borde de un disco giratorio cuyo radio es de 8m se mueve a través de un ángulo de 37º .Calcule la longitud del arco descrito por el punto.
DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS
R = 8m Θ = s / R
Ángulo = 37° s = RΘ = 8m ( 0.646 rad) = 5.17 m

Paso 1
Convertir los grados a radianes , ya que en todos los problemas es necesario que los ángulos o las revoluciones esten en radianes para poderlos escribir en las formulas y nos den las unidades correctas,
Θ = ( 37º) 1 rad / 360º= 0.646 rad

2.- La rueda de una bicicleta tiene un diámetro de 66cm y da 40 revoluciones en 1 min. a)¿ Cuál es su velocidad angular? b)¿Qué distancia se desplazará la rueda?
DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS
R = 33cm ω = 4.19 rad/s
R = .33m s = ΘR = 251rad ( .33 m) = 82.8 m
ω = 40 rmp


Convertir 40rmp en rad/s :
40 rmp = 40 rev / min ( 2p rad / rev ) ( 1 min / 60s) = 4.19 rad/s
40 rev ( 2 p rad/ 1rev ) = 251 rad .

En este tipo de conversiones se escriben dos paréntesis y se elimina lo que esta arriba con lo de abajo
Y lo que esta abajo con lo de arriba

3.-Un volante aumenta su velocidad de rotación de 37.7 rad/s a 75.4 rad/s en 8 s ¿Cuál es se aceleración angular?
DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS
ωo = 37.7 rad/s
ωf = 75.4 rad/s α = (ωf - ωo) / t =75.4 rad/s - 37.7 rad/s =4.71 rad/s^2
t= 8 s

4.-Una rueda de esmeril que gira inicialmente con una velocidad angular de 6 rad/s recibe una aceleración constante de 2 rad/s^2
a)¿Cuál será su desplazamiento angular en 3 seg? b) ¿Cuál es su velocidad angular final? c)¿Cuál será su aceleración tangencial ,si la rueda tiene un racio de .05m?
DATOS FORMULA SUSTITUCIÓN RESULTADOS
ωo = 6rad/s
α= 2 rad/s^2
a) Θ= ? Θ= ωot +(αt^2) / 2 = 6rad/s(3s) + (2rad/s^2) / 2 =27 rad
b) ωf=? ωf = ωo +at = 6rad/s + 2 rad/s^2 ( 3s) = 12 rad/s
c) αt= ? a t = αR = 2 rad/s^2 ( .05m) = 0.1 m/s^2

ACTIVIDAD No. 8
INSTRUCCIONES:
Resolver los siguientes ejercicios y entregarlos a su maestro en hojas blancas en la fecha indicada por él.

1.-Un punto al borde de una gran rueda cuyo radio es de 3 m. Se mueve a través e un ángulo de 40°. Encuentre la longitud del arco descrito por el punto.

2.- Un volante parte del reposo y alcanza una velocidad rotacional final de 900 rpm en 4 seg. Determine la aceleración angular y el desplazamiento angular después de 4 seg.

3.-Una pieza cilíndrica para almacenamiento de 6 in de diámetro gira en un torno a 800 rpm . ¿ Cuál es la velocidad lineal en la superficie del cilindro?.


TAREA No. 4
Resolver los siguientes ejercicios y enviarlos por mail a su profesor

1.- Un motor eléctrico gira a 600 rpm . ¿Cuál es la velocidad angular? ¿ Cuál es el desplazamiento angular después de 6 seg.?

2.-Una mujer que esta de pie en una plataforma giratoria a 4 m del centro de rotación recorre una distancia de 100 m en 20 seg. Si partió del reposo ¿ Cuál es la aceleración angular de la plataforma?¿ Cuál es la velocidad angular después de 20 seg.?


MOVIMIENTO